题目：已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]． (1)求a的值； (2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．

正确答案：

解：法一：(1)由已知得3^a＋2＝18⇒3^a＝2⇒a＝log₃2.

(2)此时g(x)＝λ·2^x－4^x，

设0≤x₁<x₂≤1，

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

所以g(x₁)－g(x₂)＝(2x₁－2x₂)(λ－2x₂－2x₁)>0恒成立，即λ<2x₂＋2x₁恒成立．

由于2x₂＋2x₁>2⁰＋2⁰＝2，

所以实数λ的取值范围是λ≤2.

法二：(1)同法一．

(2)此时g(x)＝λ·2^x－4^x，

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

所以有g′(x)＝λln2·2^x－ln4·4^x＝ln2[－2·(2^x)²＋λ·2^x]≤0成立．

设2^x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u²＋λu≤0恒成立．

因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，

所以实数λ的取值范围是λ≤2.

试题解析：